Question

12．在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面内一点，且AP=2，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值为$10+2\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 设D为BC中点，化简$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$，利用平行四边形的性质（2AD）²+BC²=2（AB²+AC²），求出$|\overrightarrow{AD}|$=$\frac{{\sqrt{37}}}{2}$，判断当$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{AD}$同向时$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{PA}$最大，求出最大值．

解答 解：设D为BC中点，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}）={\overrightarrow{PA}^2}+\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$10+2\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{PA}$，
由（2AD）²+BC²=2（AB²+AC²）得，$|\overrightarrow{AD}|$=$\frac{{\sqrt{37}}}{2}$，
∴当$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{AD}$同向时$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{PA}$最大，最大值为$2\sqrt{37}$，∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$最大值$10+2\sqrt{37}$．
故答案为：$10+2\sqrt{37}$；

点评 本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积的计算以及最值的求法，考查计算能力．