Question

已知双曲线的中心在原点，以两条坐标轴为对称轴，离心率是

2

，两准线间的距离大于

2

，且双曲线上动点P到A（2，0）的最近距离为1．
（Ⅰ）求证：该双曲线的焦点不在y轴上；
（Ⅱ）求双曲线的方程；
（Ⅲ）如果斜率为k的直线L过点M（0，3），与该双曲线交于A、B两点，若

AM

=λ

MB

(λ＞0)，试用l表示k²，并求当λ∈[

1

2

，2]时，k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）反证法：假设双曲线的焦点在y轴上，因为双曲线上任一点到点A（2，0）的距离大于点A到渐近线的距离，
而点A到渐近线的距离大于1，这与“双曲线上动点P到A（2，0）的最近距离为1”矛盾，故假设不对．
（2）双曲线的焦点在x轴上，设出方程，待定系数法求方程．
（3）直线方程与双曲线方程联立，化为一元二次方程，应用根与系数的关系、2个向量关系，用λ表示k²，
由λ范围，求k的取值范围．

解答：证明：（Ⅰ）设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，
由

c a = 2 a2+b2=c2

，得c=

2

a，a=b，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x．
若双曲线的焦点在y轴上，
则双曲线上任一点到点A（2，0）的距离大于点A到渐近线的距离，
而点A到渐近线的距离d=

2

＞1，
这与“双曲线上动点P到A（2，0）的最近距离为1”矛盾．
所以双曲线的焦点不在y轴上．
方法二：联立双曲线方程y²-x²=a²与圆（x-2）²+y²=1，证明方程组无解．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为x²-y²=a²，P（x₀，y₀），则x₀²-y₀²=a²，
|PA|²=（x₀-2）²+y₀²=（x₀-2）²+x₀²-a²=2（x₀-1）²+2-a²，
又由

2a2

c

＞

2

得a＞1
又当x₀=a时，|PA|²有最小值，即2（a-1）²+2-a²=（a-2）²=1，
∴a=3，所以，双曲线的方程为x²-y²=9．
解（Ⅲ）：设直线l的方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

AM

=λ

MB

(λ＞0)，∴（-x₁，3-y₁）=λ（x₂，y₂-3），∴x₁=-λx₂（x₁x₂＜0）①，
由

y=kx+3 x2-y2=9

消去y得，（1-k²）x²-6kx-18=0，
x₁+x₂=

6k

1-k2

②，x₁x₂=-

18

1-k2

＜0   ③
将①分别代入②、③
得，（1-λ）x₂=

6k

1-k2

④λx₂²=

18

1-k2

⑤
④²÷⑤并整理得，k2=1-

2λ

λ2+1

（l＞0）
令f（l）=

2λ

λ2+1

，则f′(λ)=

2(λ2+1)-2λ•2λ

(λ2+1)2

=

-2λ2+2

(λ2+1)2

令f′（λ）=0，得 λ=1；    令f′（λ）＞0，
得0＜l＜1；令f′（λ）＜0，得l＞1
当λ∈[

1

2

，2]时，f(

1

2

)=

4

5

，
f（1）=1，f(2)=

4

5

，∴f(λ)∈[

4

5

，1]
∴k2∈[0，

1

5

]，∴k∈[-

5

5

，

5

5

]．（13分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用．