Question

已知二项式(

x

2

-

1

3 x

)n(n∈N*)的展开式中第3项的系数与第1项的系数的比是144：1．
（Ⅰ）求展开式中所有的有理项；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项以及系数绝对值最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：综合题,二项式定理

分析：（Ⅰ）利用其通项公式：T_r+1=（-1）^r•(

1

2

)n-r•

C

r n

•xn-

4r

3

（0≤r≤n，r∈N^*），可得

(-1)2( 1 2 )n-2 C 2 n

(-1)0( 1 2 )n-0 C 0 n

=

144

1

，可解得n=9，从而可求得展开式中所有的有理项；
（Ⅱ）n=9⇒展开式共有10项⇒二项式系数最大的项为T₅=

63

16

x

11

3

和T₇=21x；依题意，可求得展开式中第r-1项，第r项，第r+1项的系数绝对值，若第r项的系数的绝对值最大，则必须满足：

( 1 2 )9-r C r 9 ≥( 1 2 )10-r C r-1 9 ( 1 2 )9-r C r 9 ≥( 1 2 )8-r C r+1 9

，解之即可．

解答： 解：（Ⅰ）二项式(

x

2

-

1

3 x

)n的通项公式为：T_r+1=（-1）^r•(

1

2

)n-r•

C

r n

•xn-

4r

3

（0≤r≤n，r∈N^*），
∵第3项的系数与第1项的系数的比是144：1，
∴

(-1)2( 1 2 )n-2 C 2 n

(-1)0( 1 2 )n-0 C 0 n

=

144

1

，即

C

2 n

=36，解得n=9或n=-8（舍去）．
从而通项公式为：T_r+1=（-1）^r•(

1

2

)9-r•

C

r 9

•x9-

4r

3

（0≤r≤9，r∈N^*），
当r=0，3，6，9时，所有的有理项为T₁=x⁹；T₄=-

21

16

x⁵；T₇=21x；T₁₀=-

1

x3

．
（Ⅱ）∵n=9，展开式共有10项，
∴二项式系数最大的项为T₅=

63

16

x

11

3

和T₇=21x．
展开式中第r-1项，第r项，第r+1项的系数绝对值分别为：(

1

2

)10-r

C

r-1 9

，(

1

2

)9-r

C

r 9

，(

1

2

)8-r

C

r+1 9

．
若第r项的系数的绝对值最大，则必须满足：

( 1 2 )9-r C r 9 ≥( 1 2 )10-r C r-1 9 ( 1 2 )9-r C r 9 ≥( 1 2 )8-r C r+1 9

，即

2 C r 9 ≥ C r-1 9 C r 9 ≥2 C r+1 9

，
解得：

17

3

≤r≤

20

3

，又r∈N，所以r=6．
∴系数绝对值最大的项为T₇=21x．

点评：本题考查二项式定理及其相关概念，着重考查通项公式的应用，考查逻辑思维与综合运算能力，属于难题．