Question

【题目】已知函数，若函数的所有零点之和为，则的取值范围为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意结合函数的解析式和函数图象确定实数的取值范围即可．

解：原问题转化为函数与函数交点的横坐标之和为，

绘制函数在区间上的图象如图所示，

当时，.

当时，

绘制函数在区间上的图象如图所示，

所以当时，函数与函数交点的横坐标为：，

由函数与在上的交点有两个，

根据函数的对称性有，这两个交点关于直线对称。

所以函数与在上的两个交点的横坐标之和为1.

所以函数与在上的三个交点的横坐标之和为0.

因此原问题转化为函数与函数在上的交点的横坐标之和为

当，则函数与函数在区间上各有两个交点.

显然这些交点的横坐标之和大于3.所以

当，若函数与函数在区间上有两个交点，则根据对称性，这两个交点横坐标之和刚好为3.

则函数与函数在区间上没有交点.

所以结合函数的函数图象可知：.
求解不等式组可得实数的取值范围为：.

当时，则函数与函数在区间上没有交点，不满足条件.

当时，则函数与函数在区间上要么没有交点，要么交点的横坐标之和等于或大于3，皆不满足条件.

故答案为：.