Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．

（1）求b的值，判断并用定义法证明f（x）在R上的单调性；

（2）解不等式f（2x+1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（-∞，-）．

【解析】

（1）由f（0）=0列式求得b，可得函数解析式，再由函数单调性的定义证明函数f（x）在R上为增函数；（2）由函数是奇函数把不等式f（2x+1）+f（x）＜0变形为f（2x+1）＜-f（x）=f（-x），再由单调性转化为关于x的一元一次不等式求解．

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=，得b=-1．

∴f（x）=．

函数f（x）在R上为增函数．

证明如下：设，∈（-∞，+∞），且＞，

则f（）-f（）=

==．

∵＞0，＞0，

又＞，∴＞0，

则f（）-f（）=＞0，即f（）＞f（），

∴函数f（x）在R上为增函数；

（2）∵函数f（x）在R上的奇函数，

∴f（2x+1）+f（x）＜0f（2x+1）＜-f（x）=f（-x）．

由（1）知，函数f（x）在R上为增函数，

∴2x+1＜-x，即x＜-．

∴不等式f（2x+1）+f（x）＜0的解集为（-∞，-）．