Question

已知函数f（x）=ax²-

1

x

（a∈R），若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：先求函数的导数并化简，根据函数的单调性得：

2ax2+1

x2

≥0在区间[1，+∞）上恒成立，即2ax²+1≥0在区间[1，+∞）上恒成立，再对a分类求出函数y=2ax²+1的最小值，列出关于a的不等式求解即可．

解答： 解：由题意得，f′（x）=2ax+

1

x2

=

2ax2+1

x2

，
因为f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
所以

2ax2+1

x2

≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即2ax²+1≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
当a=0时，1≥0成立；
当a＞0时，函数y=2ax²+1在区间[1，+∞）上是增函数，
所以函数y=2ax²+1的最小值2a+1≥0，解得a≥-

1

2

，
当a＞0时，函数y=2ax²+1在区间[1，+∞）上是减函数，
所以函数y=2ax²+1没有最小值，即2ax²+1≥0在区间[1，+∞）上不可能恒成立，
综上得，实数a的取值范围{a|a≥0}．

点评：本题主要考查函数单调性与导数的关系，根据函数单调性将问题转化为恒成立问题是解决本题的关键，考查分类讨论思想和转化思想．