Question

6．已知正四面体的棱长为a．
（1）求正四面体的高；
（2）求正四面体内切球的半径和体积．

Answer 1

分析 （1）设正四面体为A-BCD，过D作DE⊥BC，交BC于E，作AH⊥底面BCD于点H，交DE于H，先求出DH，由此能求出正四面体的高AH．
（2）设正四面体内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连得四个小三棱锥，设原三棱锥的底面积为S，则每个侧面积均为S，由此能求出结果．

解答 解：（1）设正四面体为A-BCD，
过D作DE⊥BC，交BC于E，
作AH⊥底面BCD于点H，交DE于H，
则DE=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，DH=$\frac{2}{3}DE=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴AH=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∴正四面体的高为$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
（2）设正四面体内切球的球心为O，半径为r，
O点与A、B、C、D相连得四个小三棱锥，
设原三棱锥的底面积为S，则每个侧面积均为S，
∴4×$\frac{1}{3}Sr$=$\frac{1}{3}S×AH$，
∴r=$\frac{1}{4}AH=\frac{\sqrt{6}}{12}a$，
∴正四面体内切球的体积V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{216}π{a}^{3}$．

点评 本题考查正四面体的高、正四面体内切球的半径和体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．