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    【题目】如图所示，四棱锥中，底面为菱形， ， ， 为棱的中点，且.

    （Ⅰ）求证：平面平面；

    （Ⅱ）当直线与底面成角时，求二面角的余弦值.

    【答案】(1)见解析；（2）二面角的余弦值为.

    【解析】试题分析：

    (Ⅰ) 先证，得到，根据可得，从而可得，于是平面．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，然后求出两向量夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值．

    试题解析：

    (Ⅰ)取的中点，连，

    ，

    为等边三角形，

    ，

    又， ，

    ，

    又，

    ，又

    ，又

    ，

    又，

    平面.

    (Ⅱ)由(Ⅰ) 知， ，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设菱形的边长为2，则， ，

    因为直线与底面成角，即，

    ，

    ，

    ，

    设为平面的一个法向量，

    由，令，则．

    设为平面的一个法向量，

    由，令，则 ，

    ，

    由题可知二面角的平面角为钝角，

    所以二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

    直径/

    58

    59

    61

    62

    63

    64

    65

    66

    67

    68

    69

    70

    71

    73

    合计

    件数

    1

    1

    3

    5

    6

    19

    33

    18

    4

    4

    2

    1

    2

    1

    100

    经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

    （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；

    ①；

    ②；

    ③

    评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.

    （2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.

    ①从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；

    ②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知四棱锥，平面，底面为直角梯形，，，，，是中点.

    (1)求证：平面；

    (2)若直线与平面所成角的正切值为，是的中点，求二面角的余弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.

    （Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需求量 (单位：千万立方米)与年份 (单位：年)之间的关系.并且已知关于的线性回归方程是，试确定的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；

    （Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A类：每车补贴1万元，B类：每车补贴2.5万元，C类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：

    为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查，求恰好有1辆车享受3.4万元补贴的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图2，在三棱锥A-BCD中，AB=CD=4, AC=BC=AD=BD=3.

    (I)证明:ABCD;

    (II) E在线段BC上，BE=2EC, F是线段AC的中点，求平面ADE与平面BFD所成锐二面角的余弦值

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知圆： 与抛物线： 相交于， 两点，分别以点， 为切点作圆的切线.若切线恰好都经过抛物线的焦点，则（ ）

    A. B. C. D.

    【答案】A

    【解析】由题得设A， ，联立圆E和抛物线得： ，代入点A得,又AF为圆的切线，故，由抛物线得定义可知：AF=，故化简得： ，将点A代入圆得： ，而=，故故选A

    点睛：此题几何关系较为复杂，我们根据问题可知借此题关键为找到p和r的关系，我们可根据圆和抛物线相交结合抛物线的焦点弦长结论综合计算可得其关系，从而求解

    【题型】单选题
    【结束】
    12

    【题目】已知函数在点 处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是（ ）

    A. B. C. D.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在等差数列中，已知公差， ，且， ， 成等比数列.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）求.

    【答案】（1）；（2）100

    【解析】试题分析：（1）根据题意， ， 成等比数列得得求出d即可得通项公式；（2）求项的绝对前n项和，首先分清数列有多少项正数项和负数项，然后正数项绝对值数值不变，负数项绝对值要变号，从而得，得，由，得，∴ 计算 即可得出结论

    解析：（1）由题意可得，则， ，

    ，即，

    化简得，解得或（舍去）.

    ∴.

    （2）由（1）得时，

    由，得，由，得，

    ∴

    .

    ∴.

    点睛：对于数列第一问首先要熟悉等差和等比通项公式及其性质即可轻松解决，对于第二问前n项的绝对值的和问题，首先要找到数列由多少正数项和负数项，进而找到绝对值所影响的项，然后在求解即可得结论

    【题型】解答题
    【结束】
    18

    【题目】甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元.

    (I)请将两家公司各一名推销员的日工资 (单位: 元) 分别表示为日销售件数的函数关系式;

    (II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。若记甲公司该推销员的日工资为,乙公司该推销员的日工资为 (单位: 元)，将该频率视为概率，请回答下面问题:

    某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，是常数．

    （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；

    （Ⅱ）证明：时，有两个零点、，且．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数在与时都取得极值.（1）求的值；（2）若对， 恒成立，求的取值范围

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