Question

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．具体可叙述为：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c有：
a²=b²+c²-2bccosA
b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC
请你用向量的方法证明该定理．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图：设

CB

=

a

，

CA

=

b

，

AB

=

C

，由三角形法则有

c

=

a

-

b

，利用数量积的性质展开可得

c

2=(

a

-

b

)2=

a

2+

b

2-2

a

•

b

．

解答： 证明：如图：设

CB

=

a

，

CA

=

b

，

AB

=

C

，
由三角形法则有

c

=

a

-

b

，∴

c

2=(

a

-

b

)2=

a

2+

b

2-2

a

•

b

，
即c²=a²+b²-2abcosC．
同理，利用相同方法推导，

a2=b2+c2-2bccosA， b2=a2+c2-2acosB

点评：本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质、余弦定理，属于中档题．