Question

已知函数y=4cos²（2π-x）+4

3

cos（

π

2

-x）cosx-2，x∈R
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值及其相对应的x值；
（3）写出函数的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数进行化简，根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期
（2）根据三角函数的图象和性质，即可求函数的最大值及其相对应的x值；
（3）根据三角函数的图象和性质，即可求函数的单调递增区间．

解答： 解：y=4cos²（2π-x）+4

3

cos（

π

2

-x）cosx-2，
即y=2（1+cos2x）+2

3

sin2x-2
=2cos2x+2

3

sin2x
=4cos（2x-

π

3

），或y=4sin（2x+

π

6

），
（1）则函数的周期T=

2π

2

=π．
（2）当2x-

π

3

=2kπ，k∈Z，（或2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z），
解得x=

π

6

+kπ，k∈Z，此时函数取得最大值．
（3）当2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ，k∈Z（或2kπ-

π

3

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z）
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
所以增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的关系式进行化简是即可得到结论．