Question

已知直线l的极坐标方程为ρcos（θ+

π

4

）=

2

，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系．在直角坐标系下，曲线C₁的参数方程为

x=2cosφ y=2sinφ

（φ为参数），把曲线C₁上所有点的横坐标压缩到原来的

1

2

（纵坐标不变）得到曲线C₂．
（1）写出直线l的直角坐标方程与曲线C₂的普通方程；
（2）若点Q是曲线C₂上任意一点，求点Q到直线l的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用平方关系消去φ得到曲线C₁的直角坐标方程即可；
（2）求出曲线C₂的参数方程，以及Q到直线l的距离，判断出点Q到直线l的最大值是多少即可．

解答： 解：（1）∵ρcos（θ+

π

4

）=

2

∴

2

2

(ρcosθ-ρsinθ)=

2

∴ρcosθ-ρsinθ-2=0
∴直线l的直角坐标方程为：x-y-2=0；
将曲线C₁的参数方程为

x=2cosφ y=2sinφ

（φ为参数），化为普通方程为x²+y²=4，
把曲线C₁上所有点的横坐标压缩到原来的

1

2

（纵坐标不变）得到曲线C₂：x2+

y2

4

=1．
（2）曲线C₂：x2+

y2

4

=1的参数方程为

x=cosθ y=2sinθ

，（θ为参数）
因为点Q是曲线C₂上任意一点，故设Q（cosθ，2sinθ）
所以Q到直线l的距离d=

|cosθ-2sinθ-2|

2

=

|- 5 sin(θ-β)-2|

2

（其中tanβ=

1

2

）
因此当sin（θ-β）=1时，d取得最大值，最大值为

10

2

+

2

．

点评：本题主要考查了极坐标方程、参数方程及直角坐标方程之间的相互转化，考查了点到直线的距离的计算，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．