Question

用分析法证明：若a＞0，则

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：证明题,分析法

分析：分析使不等式

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．

解答： 证明：要证

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

，
∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²-----------（2分）
只需证

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），-----------（4分）
只需证a2+

1

a2

≥

1

2

（a2+

1

a2

+2），-----------（6分）
即证a2+

1

a2

≥2，它显然成立．
∴原不等式成立．-----------（8分）

点评：本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．