Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n=n²+n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=6b₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项的和T_n．
（3）设d_n=

n(n+1)bn

，数列{d_n}的前n项的和为D_n，求证：D_n＜n•3ⁿ．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据S_n的表达式求得S_n-1的表达式，进而两式相减求得a_n．
（2）利用错位相减法，即可求数列{c_n}的前n项的和T_n．
（3）求得数列{d_n}的通项，再放缩，利用错位相减法求和，即可证明结论．

解答： （1）解：∵S_n=n²+n
∴S_n-1=（n-1）²+（n-1）=n²-n（n≥2）
∴a_n=2n（n≥2）
又a₁=S₁=2满足a_n=2n
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；
又a₁=b₁，∴b₁=2，
∵b₂（a₂-a₁）=6b₁，
∴b₂=6，∴q=3，
∴b_n=2×3^n-1．  
（2）解：c_n=

an

bn

=

n

3n-1

，
∴T_n=1+2•3+3•3²+…+n•3^n-1，
∴

1

3

T_n=

1

3

+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
∴两式相减整理可得T_n=

9

4

-

2n+3

4×3n-1

；
（3）证明：由d_n=

n(n+1)bn

，可得d_n=

n(n+1)

×2×3^n-1，
∴D_n=

1×2

×2+

2×3

×2×3+…+

n(n+1)

×2×3^n-1
＜（1+2）+（2+3）×3+…+（n+n+1）×3^n-1
=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）×3^n-1，
令M_n=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）×3^n-1，①
3M_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）×3ⁿ，②
①-②得：-2M_n=3+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n+1）×3ⁿ=-2n•3ⁿ
∴M_n=n•3ⁿ，即D_n＜n•3ⁿ．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，考查错位相减法，考查不等式的证明．对等差数列和等比数列的相关公式应强化记忆．