Question

已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

3

2

，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）根据函数最值的求解方法，利用导数即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x³-3x．
∴f′（x）=3x²-3，
f（1）=1-3=-2，
即在（1，-2）处的切线斜率k=f′（1）=3-3=0，
即函数y=x³-3在（1，-2）处的切线方程为y=-2，
则函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为y=-2；
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-3，
∴由f′（x）=3x²-3＞0，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由f′（x）=3x²-3＜0，解得-1＜x＜1，此时函数单调递减，
∵f（-

3

2

）=

9

8

，f（-1）=2，f（1）=-2，f（3）=18，
故函数的最大值为f（3）=18，最小值为f（1）=-2．

点评：本题主要考查函数的切线方程以及函数最值的求解，利用导数的几何意义以及导数的应用是即可得到结论．