Question

已知数列{a_n}为等差数列，且满足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+1

＜ln2
（Ⅲ）当0＜λ＜1时，设b_n=λ（a_n-

1

2

），c_n=（1-λ）a_n，数列{

1

bncn

}的前n项和为T_n，求证：T_n＞

9n-1

4n+3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设a_n=kn+b，利用条件即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）构造函数g（x）=ln（x+1）-

x

x+1

，x∈[0，1]，求导，确定单调性，可得

1

n+1

＜ln（n+1）=lnn，累加，即可证明结论；
（Ⅲ）确定通项，可得T_n≥16（

1

3

-

1

4

+

1

5

-

1

6

+…+

1

2n+1

-

1

2n+2

）=16（

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-

1

2

），令t_n=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

，证明t_n≥

2(n+1)

3n+4

，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：设a_n=kn+b，k∈R，n∈N^*，则kn+k+b=（kn+b）²-n（kn+b）+1，
化简得：（k²-k）n²+（2kb-k-b）n+（b²+1-k-b）=0对n∈N^*恒成立，
故有：k²-k=0①且2kb-k-b=0②且b²+1-k-b=0③
所以k=1，b=1；
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=n+1…4分
（Ⅱ）证明：构造函数g（x）=ln（x+1）-

x

x+1

，x∈[0，1]，求导得g′（x）=

x

(x+1)2

≥0，
所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，
由于0＜

1

n

≤1，故g（

1

n

）＞g（0）=0，
即ln（1+

1

n

）-

1

n+1

＞0，
所以

1

n+1

＜ln（n+1）=lnn
累加即得

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

＜ln（2n+2）-ln（n+1）=ln2，
故原不等式成立．  …9分
（Ⅲ）证明：∵b_n=λ（a_n-

1

2

）=

λ(2n+1)

2

，c_n=（1-λ）a_n=（1-λ） （n+1），
∴

1

bncn

=

4

λ(1-λ)(2n+1)(2n+2)

≥16（

1

2n+1

-

1

2n+2

），
∴T_n≥16（

1

3

-

1

4

+

1

5

-

1

6

+…+

1

2n+1

-

1

2n+2

）=16（

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

-

1

2

）．
令t_n=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

，倒序相加可得
2t_n=（

1

n+2

+

1

2n+2

）+（

1

n+3

+

1

2n+1

）+…+（

1

2n+2

+

1

n+2

），
∵（n+2）+（2n+2）=3n+4，
∴（3n+4）（

1

n+2

+

1

2n+2

）＞4
∴

1

n+2

+

1

2n+2

＞

4

3n+4

，
同理

1

n+3

+

1

2n+1

＞

4

3n+4

，…，

1

2n+2

+

1

n+2

＞

4

3n+4

，
∴2t_n≥

4(n+1)

3n+4

，
∴t_n≥

2(n+1)

3n+4

∴T_n＞16[

2(n+1)

3n+4

-

1

2

]=

8n

3n+4

∵

8n

3n+4

-

9n-1

4n+3

=

(5n-4)(n-1)

(3n+4)(4n+3)

＞0，
∴T_n＞

9n-1

4n+3

．

点评：本题考查数列的通项羽求和，考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．