Question

已知等比数列{a_n}的各项都是正数，前n项和为S_n，且a₃=4，S₄=S₂+12．
（1）求数列的通项公式a_n；
（2）若b_n=（2n+2）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）记Cn=

2n+1

an

，证明C_n+1＜C_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的通项公式,等比数列的前n项和,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接利用a₃=4，S₄=s₂+12，以及等比数列的性质，得到关于首项和公比的等式，即可求出首项a₁及公比q的值；
（2）利用（1）的结论，求出数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）利用作差法，即可证明结论．

解答： （1）解：由已知S₄=S₂+12得S₄-S₂=a₃+a₄=12
又由a₃=4，∴a₄=8
∴等比数列的公比q=2（2分）
∴an=a3•qn-3=4×2n-3=2n-1（4分）
（2）解：bn=(2n+2)an=(2n+2)•2n-1=(n+1)2n（5分）
∴Tn=2•2+3•22+4•23+…+(n+1)•2n（6分）
∴2T_n=2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+（n+1）•2ⁿ⁺¹，（7分）
∴-Tn=2•2+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1（8分）
=2•（2ⁿ-1）+2-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹（9分）
∴Tn=n•2n+1（10分）
（3）证明：Cn=

2n+1

an

=

2n+1

2n-1

（11分）
∵n∈N^*
∴1-2n＜0，2ⁿ＞0（12分）
∴Cn+1-Cn=

2n+3

2n

-

2n+1

2n-1

=

1-2n

2n

＜0，
∴C_n+1＜C_n（14分）

点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及错位相减求和，考查不等式的证明，属于中档题．