Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-2n，数列{b_n}的前n项和T_n=3-b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1

12

a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和R_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，a₁=S₁=2-2=0，求出a_n=4n-4．由T_n=3-b_n，n≥2时，T_n-1=3-b_n-1．
两式相减，求出b_n=3•(

1

2

)n．
（2）c_n=

1

12

a_n•b_n=（n-1）•(

1

2

)n，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和R_n的表达式．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-2n，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²-2n）-[2（n-1）²-2（n-1）]=4n-4，
a₁=S₁=2-2=0符合上式，
∴a_n=4n-4．
∵{b_n}的前n项和T_n=3-b_n，∴n≥2时，T_n-1=3-b_n-1．
两式相减，得b_n=b_n-1-b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

2

，n≥2，
又b₁=T₁=3-b₁，解得b1=

3

2

，
∴b_n=

3

2

×(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n．
（2）∵c_n=

1

12

a_n•b_n=（n-1）•(

1

2

)n，
∴R_n=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n，①

1

2

Rn=1×(

1

2

)3+2×(

1

2

)4+…+(n-1)×(

1

2

)n+1，②
①-②，得：

1

2

Rn-（n-1）×(

1

2

)n+1
=

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n-1）×(

1

2

)n+1
=

1

2

-(

1

2

)n-（n-1）×(

1

2

)n+1，
∴R_n=1-（

1

2

）^n-1-（n-1）•（

1

2

）ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．