Question

设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=b-

1

2

c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=

3

，求三角形ABC面积S的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，根据sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入得到关系式，利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理化简acosC=b-

1

2

c得：sinAcosC=sinB-

1

2

sinC，
即sinAcosC=sin（A+C）-

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC-

1

2

sinC，
∴cosAsinC-

1

2

sinC=0，
又sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=

3

，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得cosA=

b2+c2-3

2bc

=

1

2

，即b²+c²=bc+3，
∵b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时取等号，
∴bc+3≥2bc，即bc≤3，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
则当b=c=

3

时，三角形ABC面积S的最大值为

3 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．