Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n都有6S_n=1-2a_n，记bn=log

1

2

an．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若c_n+1-c_n=b_n，c₁=0，求证：对任意n≥2，n∈N*都有

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用6S_n=1-2a_n，代入计算，即可求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）确定数列{a_n}是首项a1=

1

8

，公比q=

1

4

的等比数列，再求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）利用累加法，求出c_n，再裂项求和，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：由6S₁=1-2a₁，得6a₁=1-2a₁，解得a1=

1

8

．   …（1分）
6S₂=1-2a₂，得6（a₁+a₂）=1-2a₂，解得a2=

1

32

．   …（3分）
（Ⅱ）解：由6S_n=1-2a_n…①，
当n≥2时，有6S_n-1=1-2a_n-1…②，…（4分）
①-②得：

an

an-1

=

1

4

，…（5分）
∴数列{a_n}是首项a1=

1

8

，公比q=

1

4

的等比数列　　　　…（6分）
∴an=a1qn-1=

1

8

×(

1

4

)n-1=(

1

2

)2n+1，…（7分）
∴bn=log

1

2

an=log

1

2

(

1

2

)2n+1=2n+1．　　　　　　　　…（8分）
（Ⅲ）证明：∵c_n+1-c_n=b_n=2n+1，∴c_n-c_n-1=b_n-1=2（n-1）+1，（n≥2）…（1）
c_n-1-c_n-2=b_n-2=2（n-2）+1，…（2）
…，
c₃-c₂=b₂=2×2+1，
c₂-c₁=b₁=2×1+1，…（n-1）…（9分）
（1）+（2）+…+（n-1）得cn-c1=bn-1=2(1+2+3+…+n-1)+n-1=n2-1，（n≥2）…（10分）
∴c_n=（n-1）（n+1），（n≥2），
当n=1时，c₁=0也满足上式，
∴c_n=（n-1）（n+1）…（11分）
∴

1

cn

=

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，…（12分）
∴

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

3

4

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)，…（13分）
∵

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)＞0，
∴

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

4

对任意n≥2，n∈N^*均成立．　…（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，有难度．