Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，an+1=Sn+(-1)n，n∈N^*，且{an+

2

3

(-1)n}是等比数列．
（1）求a的值；
（2）求出通项公式a_n；
（3）求证：

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：

分析：（1）由已知得出当n≥2时，an=Sn-1-(-1)n，两式相减并整理得出an+1+

2

3

(-1)n+1=2[an+

2

3

(-1)n]，利用a₁=a，a₂=S₁-1=a-1，即可求a的值；
（2）{an+

2

3

(-1)n}是以a1-

2

3

=a-

2

3

=

1

3

为首项，2为公比的等比数列，即可求出通项公式a_n；
（3）利用放缩法，并累加，即可证明结论．

解答： （1）解：当n≥2时，an=Sn-1-(-1)n，
∴an+1-an=Sn-Sn-1+2(-1)n，
∴an+1=2an+2(-1)n，
∴an+1+

2

3

(-1)n+1=2[an+

2

3

(-1)n]
又a₁=a，
∴a₂=S₁-1=a-1
又∵a2+

2

3

×(-1)2=2(a1-

2

3

)，
∴a-1+

2

3

=2(a-

2

3

)，
∴a=1（5分）
（2）解：由（1）知{an+

2

3

(-1)n}是以a1-

2

3

=a-

2

3

=

1

3

为首项，2为公比的等比数列，
∴an+

2

3

(-1)n=

1

3

•2n-1，
∴an=

2n-1+2(-1)n-1

3

（7分）
（3）证明：当n≥2时，

1

a2n-1

+

1

a2n

=

3

22n-2+2

+

3

22n-1-2

=

3(22n-2+22n-1)

24n-3+22n-22n-1-4

＜

3(22n-2+22n-1)

24n-3

=

9

22n-1

=18(

1

4

)n（10分）
将n由2到n赋值并累加得

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+

1

a6

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

＜18[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]
=18•

1 16 [1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

=

3

2

(1-

1

4n-1

)＜

3

2

（13分）

点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，数列求和，考查变形构造、转化、计算能力．一般的形如a_n+1=pa_n+q型递推公式，均可通过两边加上一个合适的常数，变形构造出一个新的等比数列．