Question

已知x、y、z均为正实数，且x+y+z=1．求证：

x2

y+z

+

y2

x+z

+

z2

x+y

≥

1

2

．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由条件柯西不等式得 [(y+z)+(x+z)+(x+y)](

x2

y+z

+

y2

x+z

+

z2

x+y

)≥(x+y+z)2，再根据x+y+z=1，利用不等式的性质证得结论．

解答： 证明：x、y、z均为正实数，由柯西不等式得 [(y+z)+(x+z)+(x+y)](

x2

y+z

+

y2

x+z

+

z2

x+y

)≥(x+y+z)2．
∵x+y+z=1，∴

x2

y+z

+

y2

x+z

+

z2

x+y

≥

1

2

．

点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．