Question

（类型A）已知函数f（x）=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x₁，x₂，证明：
（1）当a≤0时，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)
（2）当a≤4时，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|
（类型B）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人．如何组团，可使旅行社的收费最多？

Answer 1

分析：（类型A）（1）将x₁，x₂代入整理，整理出关于x₁，x₂的关系式，结合基本不等式使用条件，再由基本不等式可证．
（2）先对函数f（x）进行求导，将x₁，x₂代入整理变形，转化为证明对任意两个不相等的正数x₁，x₂，有 2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x1x2

＞1恒成立，从而得证．
（类型B）设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180），求出对称轴得到函数的最大值．

解答：解：（类型A）证明：（1）由 f(x)=x2+

2

x

+alnx
得

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+(

1

x1

+

1

x2

)+

a

2

(lnx1+lnx2)=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

f(

x1+x2

2

)=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

而

1

2

(x12+x22)＞

1

4

[(x12+x22)+2x1x2]2=(

x1+x2

2

)2①
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂＞4x₁x₂
∴

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

②
∵

x1x2

＜

x1+x2

2

∴ln

x1x2

＜ln

x1+x2

2

∵a≤0
∴aln

x1x2

＞aln

x1+x2

2

③
由①、②、③得

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

＞(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1x2

即

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．
（2）：由 f(x)=x2+

2

x

+alnx，得 f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

∴|f′(x1)-f′(x2)|=|(2x1-

2

x12

+

a

x1

)-(2x2-

2

x22

+

a

x2

)|=|x1-x2|•|2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x1x2

||f′(x1)-f′(x2)|＞|x1-x2|?|2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x1x2

|＞1
下面证明对任意两个不相等的正数x₁，x₂，有 2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x1x2

＞1恒成立
即证 a＜x1x2+

2(x1+x2)

x1x2

成立
∵x1x2+

2(x1+x2)

x1x2

＞x1x2+

4

x1x2

设 t=

x1x2

，u(x)=t2+

4

t

(t＞0)，
则 u′(x)=2t-

4

t2

，
令u′（x）=0得 t=

3	2

，列表如下：
u(t)≥3

3	4

=

3	108

＞4≥a
∴x1x2+

2(x1+x2)

x1x2

＞a
∴对任意两个不相等的正数x₁，x₂，恒有|f'（x₁）-f'（x₂）|＞|x₁-x₂|．
（类型B）设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：
y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180）．
整理得：y=-5x²+1500x=-5（x-150）²+112500．
所以当x=150人时，旅行团的收费最多为112500元．

点评：本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力．