Question

16．在数列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{3}$，（n+2）a_n+1=na_n，则数列{a_n}的前n项的和S_n等于$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 通过对（n+2）a_n+1=na_n变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，进而$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$、$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$、…、$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，累乘即得通项a_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），累加即得结论．

解答 解：∵（n+2）a_n+1=na_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1•2•…•（n-1）}{3•4•…•（n+1）}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
又∵a₂=$\frac{1}{3}$，
∴a₁=3a₂=3•$\frac{1}{3}$=1，
∴a_n=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．