Question

（2013•浙江模拟）已知向量

m

=（2sinx，1），

n

=（

3

cosx，2cos²x），函数f（x）=

m

•

n

-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，求t的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，当（Ⅰ）中的t取最大值且f（A）=-1，b+c=2时，求a的最小值．

Answer 1

分析：（I）由向量数量积的公式与三角恒等变换公式化简，得

m

•

n

=2sin（2x+

π

6

）+1．从而得到方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解即t=2sin（2x+

π

6

）+1在x∈[0，

π

2

]上有解，再利用正弦函数的图象与性质加以计算，即可得到t的取值范围；
（II）由（I）得f（A）=2sin（2A+

π

6

）-2=-1，结合A为三角形的内角解出A=

π

3

．在△ABC中根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子算出a²=b²+c²-bc，结合b+c=2化简得a²=3b²-6b+4，再利用二次函数的性质加以计算，可得当且仅当b=c=1时，边a的最小值为1．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（2sinx，1），

n

=（

3

cosx，2cos²x），
∴

m

•

n

=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+（1+cos2x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
∵f（x）=

m

•

n

-t，方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，
∴

m

•

n

=t在x∈[0，

π

2

]上有解，即t=2sin（2x+

π

6

）+1在x∈[0，

π

2

]上有解．
∵当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴当x∈[0，

π

2

]时，

m

•

n

=2sin（2x+

π

6

）+1∈[0，3]，
由此可得：若方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，t的取值范围为[0，3]；
（Ⅱ）由（I）得t=3，可得f（A）=2sin（2A+

π

6

）-2=-1，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，结合A∈（0，π）解之得A=

π

3

．
∵△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，∴a²=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-bc，
∵b+c=2，得c=2-b，∴a²=b²+（2-b）²-b（2-b）=3b²-6b+4=3（b-1）²+1，
因此，当b=1时，即b=c=1时，边a的最小值为1．

点评：本题给出向量

m

、

n

含有三角函数式的坐标，求函数f（x）=

m

•

n

-t在指定区间上有零点的问题，并依此求三角形ABC边a的最小值．着重考查向量的数量积公式、三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质和二次函数的性质等知识，属于中档题．