Question

11．在△ABC中，若c²=a²+b²，则△ABC是直角三角形且C=90°，试问：
（1）a、b、c满足什么关系时，△ABC是锐角三角形或钝角三角形？
（2）已知锐角三角形的边长分别为1、2、a．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a，b，c均大于0，由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，讨论cosC的符号，即可得解．
（2）由已知中△ABC三边长分别为1、2、a，根据余弦定理的推论得到△ABC为锐角三角形时，由两边长1和2求出a的范围，但2与a边均有可能为最大边，故要分类讨论．

解答 解：（1）∵a，b，c均大于0，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴当c²＞a²+b²时，cosC＜0，结合C∈（0，π），可解得π＞C＞$\frac{π}{2}$，△ABC是钝角三角形；
当c²＜a²+b²时，cosC＞0，结合C∈（0，π），可解得0＜C＜$\frac{π}{2}$，△ABC是锐角三角形；
（2）∵△ABC三边长分别为1、2、a，
又∵△ABC为锐角三角形，
当2为最大边时，a≤2，设2所对的角为α，
则根据余弦定理得：cosα=$\frac{{a}^{2}+1-4}{2a}$＞0，
∵a＞0，∴a²-3＞0，
解得：$\sqrt{3}$＜a≤2；
当a为最大边时a＞2，设a所对的角为β，
则根据余弦定理得：cosβ=$\frac{1+4-{a}^{2}}{4}$＞0，
∴5-a²＞0，解得：2＜a＜$\sqrt{5}$，
综上，实数a的取值范围为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．

点评 此题考查了余弦定理，利用了分类讨论的思想．解答本题的关键是利用余弦定理推论出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围，属于基本知识的考查．