Question

1．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交与点P（x，y），则PA+PB的最大值是2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0过定点B（1，3）．无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．因此点P在以AB为直径的圆上，利用$\sqrt{2（|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|PB{|}^{2}）}$≥|PA|+|PB|≥|AB|，即可得出

解答 解：动直线x+my=0过定点A（0，0），
动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0过定点B（1，3）．
无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．
∴点P在以AB为直径的圆上，
|AB|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，|PA|²+|PB|²=10．
∴$\sqrt{2（|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|PB{|}^{2}）}$≥|PA|+|PB|≥|AB|，当且仅当|PA|=|PB|=$\sqrt{5}$时取等号．
∴2$\sqrt{5}$≥|PA|+|PB|≥$\sqrt{10}$．
∴|PA|+|PB|的最大值为2$\sqrt{5}$
故答案为：2$\sqrt{5}$

点评 本题考查了“直线系”的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．