Question

1．若函数f（x）=log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）+1是奇函数，则常数a的值是$\root{4}{\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）是奇函数，建立条件关系，即可求出a的值．

解答 解：∵函数f（x）=loga（x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）+1是奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0，
即log_a（x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）+log_a（-x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）=-2，
∴log_a[（x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）×（-x+$\sqrt{{x}^{2}+2{a}^{2}}$）]=-2，
∴x²+2a²-x²=a^-2，即2a⁴=1，
∴a=±$\root{4}{\frac{1}{2}}$．
又a对数式的底数，a＞0，
∴a=$\root{4}{\frac{1}{2}}$
故答案为：$\root{4}{\frac{1}{2}}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的图象和性质，利用奇偶性的对应建立方程是解决本题的关键．