Question

6．已知函数f（x）（x≠0），对定义域中任意的x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时f（x）＞0．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明f（x）=-f（$\frac{1}{x}$）；
（4）讨论函数的单调性．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1求得f（1）=0，令x=y=-1求得f（-1）=0；
（2）令y=-1得，f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），从而判断；
（3）令y=$\frac{1}{x}$，则f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$），从而证明；
（4）任取x＞y＞0，从而可得f（$\frac{x}{y}$）=f（x）+f（$\frac{1}{y}$），从而确定函数的单调性；

解答 解：（1）令x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0，
令x=y=-1得，f（1）=f（-1）+f（-1），则f（-1）=0；
（2）令y=-1得，f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
故函数f（x）是偶函数；
（3）证明：令y=$\frac{1}{x}$，则f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$），
即f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，
故f（x）=-f（$\frac{1}{x}$）；
（4）任取x＞y＞0，则
f（$\frac{x}{y}$）=f（x）+f（$\frac{1}{y}$），
又∵f（$\frac{1}{y}$）=-f（y），
∴f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
又∵$\frac{x}{y}$＞1，且x＞1时f（x）＞0；
∴f（x）-f（y）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评 本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的性质的判断与应用．