Question

14．已知函数f（x）=$（lo{g}_{\frac{1}{2}}x）^{2}$-$\frac{1}{2}$$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$+5，求在区间[2，4]上f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 设${log}_{\frac{1}{2}}x$=t，则f（t）=t²-$\frac{1}{2}$t+5在[-2，-1]上单调递减，问题得以解决．

解答 解：设${log}_{\frac{1}{2}}x$=t，
∵x∈[2，4]，
∴t∈[-2，-1]，
∴f（t）=t²-$\frac{1}{2}$t+5=（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{79}{16}$，
∴f（t）在[-2，-1]上为减函数，
∴f（t）_max=f（-2）=4+1+5=10，f（t）_min=f（-1）=1+$\frac{1}{2}$+5=$\frac{13}{2}$，
∴f（x）的最大值为10，最小值$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查二次函数的图象和性质，属于基础题．