Question

4．（1）已知函数f（x）=x²-2x+3，求该函数在区间[-a，a]上的最大值和最小值；
（2）已知函数f（x）=x²-2x+3，求该函数在区间[a，a+3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）（2）先求出函数f（x）的对称轴，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，对称轴为x=1，
①0＜a＜1时：f（x）在[-a，a]单调递减，
∴f（x）_max=f（-a）=a²+2a+3，
f（x）_min=f（a）=a²-2a+3，
②-a＜1＜a时：f（x）在[-a，1]递减，在（1，a]递增，
∴f（x）_max=f（-a）=a²+2a+3，
f（x）_min=f（1）=2；
（2）由（1）得：
①a+3≤1，即a≤-2时：f（x）在[a，a+3]递减，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3，
f（x）_min=f（a+3）=a²+4a+6，
②-1＜a＜-$\frac{1}{2}$时：f（x）在[a，1）递减，在（1，a+3]递增，
∴f（x）_max=f（a）=a²-2a+3，
f（x）_min=f（1）=2，
③-$\frac{1}{2}$≤a＜1时：f（x）在[a，1）递减，在（1，a+3]递增，
∴f（x）_max=f（a+3）=a²+4a+6，
f（x）_min=f（1）=2，
④a≥1时：f（x）在[a，a+3]递增，
∴f（x）_max=f（a+3）=a²+4a+6，
f（x）_min=f（a）=a²-2a+3．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．