Question

16．设a为正实数，记函数f（x）=a$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$的最大值为g（a）．
（1）求g（a）；
（2）求满足g（a）=g（$\frac{1}{a}$）的所有实数a．

Answer 1

分析 （1）令t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，求得定义域-1≤x≤1．有t²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$，且t≥0…①，可得t的取值范围是[$\sqrt{2}$，2]，进而得m（t）的解析式．由题意知g（a）即为函数m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值，求得直线t=-$\frac{1}{a}$是抛物线m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a的对称轴，a＞0利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）；
（2）由g（a）的表达式，计算g（a）=g（$\frac{1}{a}$），即可得到所求a的值．

解答 解：（1）令t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，
∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$，且t≥0…①，
∴t的取值范围是[$\sqrt{2}$，2]．
由①得：$\sqrt{1-{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$t²-1，
∴m（t）=a（$\frac{1}{2}$t²-1）+t=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]．
由题意知g（a）即为函数m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值，
∵直线t=-$\frac{1}{a}$是抛物线m（t）=$\frac{1}{2}$at²+t-a的对称轴，
当a＞0时，函数y=m（t），t∈[$\sqrt{2}$，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-$\frac{1}{a}$知m（t）在t∈[$\sqrt{2}$，2]上单调递增，
故g（a）=m（2）=a+2；
（2）由g（a）=g（$\frac{1}{a}$），
即为a+2=$\frac{1}{a}$+2，
解得a=1（-1舍去）．
故满足条件的a=1．

点评 本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，函数解析式求解的方法，考查运算能力，属于中档题．