Question

8．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}\right.$，求下列函数z的最值．
（1）z=$\frac{y+1}{x+2}$；
（2）z=|x+2y-4|．

Answer 1

分析 （1）明确目标函数几何意义，目标函数表示动点（x，y）与定点P（-1，-2）连线斜率，过P做直线与可行域相交可计算出直线斜率，从而得出所求目标函数范围；
（2）首先求出z=x+2y-4的范围，然后求绝对值的范围．

解答 解：不等式组对应的平面区域如图
（1）表示可行域内任一点（x，y）与定点P（-2，-1）连线的斜率．
由图可知，k_PE≤k≤k_PC．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得E（1，0）．由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得D（2，3）
∴k_PE=$\frac{1}{3}$，k_PC=$\frac{3}{2}$，故z的最小值为$\frac{1}{3}$，最大值为$\frac{3}{2}$．
（2）由图可知z=x+2y-4过E时最小为-3，过D时最大为4，
所以z=|x+2y-4|最小值为0，最大值为4．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．