Question

7．函数y=x-x²的值域是（-∞，$\frac{1}{4}$]；函数y=x-x²（-1≤x≤1）的值域是[-2，$\frac{1}{4}$]；函数y=$\frac{1}{x-{x}^{2}}$的值域是（-∞，0）∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 对该函数配方：$y=-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，这样便可看出该函数在R上的值域，而在-1≤x≤1上，通过配方后的解析式即可看出x=-1时，该函数取最小值，x=$\frac{1}{2}$，取最大值，从而可以写出该函数在[-1，1]上的值域．而对于第三个函数，x-x²在分母上，首先根据前面$x-{x}^{2}≤\frac{1}{4}$，从而得到x-x²的范围：$x-{x}^{2}＜0，或0＜x-{x}^{2}≤\frac{1}{4}$，然后求出$\frac{1}{x-{x}^{2}}$的范围即可．

解答 解：y=x-${x}^{2}=-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}≤\frac{1}{4}$；
∴该函数的值域为（$-∞，\frac{1}{4}$]；
可以看出，x=-1时，y=x-x²取最小值-2，并可以取到最大值$\frac{1}{4}$；
∴该函数在[-1，1]上的值域为：$[-2，\frac{1}{4}]$；
∵$x-{x}^{2}≤\frac{1}{4}$；
∴x-x²＜0，或$0＜x-{x}^{2}≤\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{x-{x}^{2}}＜0$，或$\frac{1}{x-{x}^{2}}≥4$；
∴该函数的值域为：（-∞，0）∪[4，+∞）．
故答案为：$（-∞，\frac{1}{4}]$，$[-2，\frac{1}{4}]$，（-∞，0）∪[4，+∞）．

点评 考查函数值域的概念及求法，配方求二次函数值域的方法，以及根据不等式的性质求函数值域的方法．