Question

已知圆方程为y²-6ysinθ+x²-8xcosθ+7cos²θ+8=0．
①求圆心轨迹的参数方程C；
②点P（x，y）是①中曲线C上的动点，求2x+y的取值范围．

Answer 1

考点：圆的参数方程

专题：计算题,坐标系和参数方程

分析：先将圆的一般式方程转化成圆的标准方程，从而求出圆心的参数方程，利用参数方程将2x+y表示成8cosθ+3sinθ，然后利用辅助角公式求出8cosθ+3sinθ的取值范围即可．

解答： 解：①将圆的方程整理得：（x-4cosθ）²+（y-3sinθ）²=1
则圆的圆心C的参数方程为：

x=4cosθ y=3sinθ

（θ为参数，θ∈R）；
②由于点P（x，y）是①中曲线C上的动点，
则2x+y=8cosθ+3sinθ=

73

（

8

73

cosθ+

3

73

sinθ）
=

73

cos（θ-φ）（φ为辅助角），
则最大值为

73

，最小值为-

73

．
则2x+y的取值范围是[-

73

，

73

]．

点评：本题主要考查了圆的方程，以及三角函数模型的应用问题和辅助角公式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．