Question

（2013•湛江二模）对集合A，如果存在x₀使得对任意正数a，都存在x∈A，使0＜|x-x₀|＜a，则称x₀为集合A的“聚点”，给出下列四个集合：
①{

n

n+1

|n∈Z，n≥0}；
②{x∈R|x≠0}；
③{

1

n

|n∈Z，n≠0}；
④Z．
其中以0为“聚点”的集合是（　　）

A．②③

B．①②

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：利用“聚点”的定义可得①的聚点是1，②的聚点是0，③的聚点是0，而④无聚点．

解答：解：①令f（n）=

n

n+1

，则f(n+1)-f(n)=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+1)(n+2)

＞0，即f（n）=

n

n+1

当n∈N时单调递增，则1为其“聚点”，下面给出证明：
取x₀=1，对任意正数a，要使0＜|

n

n+1

-1|=|

1

n+1

|＜a成立，只要取正整数n=[

1

a

-1]+2，故1是其“聚点”；
②由实数的稠密性可知：对任意正数a，都存在x=

a

2

∈{x∈R|x≠0}，使0＜|x-0|＜a成立，故0是此集合的“聚点”；
③∵

1

n+1

=1-

n

n+1

，由（1）可知：0为集合{

1

n

|n∈Z，n≠0}，根据“聚点”的定义可知，0是其聚点；
④?n∈Z，且n≠0，则|n|≥1，故取0＜a＜1，则不存在x∈Z，使0＜|x-x₀|＜a成立，根据“聚点”的定义可知：所给集合不存在聚点．
综上可知：只有②③正确；
故选A．

点评：正确理解函数的单调性、实数的稠密性、聚点的定义是解题的关键．