Question

13．如图，在锐角△ABC中，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NC}$，P是线段BN（不含端点）上的一点，若$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{n}$的最小值为16．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{BP}$=t$\overrightarrow{BN}$，0＜t＜1，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AP}$，求出m、n的表达式，再代入$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{n}$求出它的最小值．

解答 解：设$\overrightarrow{BP}$=t$\overrightarrow{BN}$，0＜t＜1，
又$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$
=$\overrightarrow{AB}$+t$\overrightarrow{BN}$
=$\overrightarrow{AB}$+t（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（1-t）$\overrightarrow{AB}$+t$\overrightarrow{AN}$
=（1-t）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
∴m=1-t，n=$\frac{t}{3}$；
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{n}$=$\frac{1}{1-t}$+$\frac{9}{t}$
=（$\frac{1}{1-t}$+$\frac{9}{t}$）（1-t+t）
=1+$\frac{t}{1-t}$+$\frac{9（1-t）}{t}$+9
≥2$\sqrt{\frac{t}{1-t}•\frac{9（1-t）}{t}}$+10
=2×3+10
=16，当且仅当t=$\frac{3}{4}$时“=”成立；
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{n}$的最小值是16．
故答案为：16．

点评 本题考查了平面向量的共线定理以及基本不等式的应用问题，是综合性题目．