Question

9．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{a^2}-x$．
（I）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，求函数f（x）的单调区间；
（II）当f（x）的最大值大于1-$\frac{2}{a^2}$时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求导数，据题意k=f′（1）=0，解得a值，再在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（II）f（x）的最大值大于1-$\frac{2}{a^2}$等价于lna²+a²＜1，构造函数可判断a的取值范围；

解答 解：由已知有$f'（x）=\frac{1}{{{a^2}•x}}-1=\frac{{1-{a^2}•x}}{{{a^2}•x}}（x＞0）$；
（ I）因为f'（1）=0所以a²=1，即$f'（x）=\frac{1-x}{x}=0$得x=1；
因此函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）．
（ II）令f'（x）=0得$x=\frac{1}{a^2}（{a^2}≠0）$，
则函数f（x）的在区间$（0，\frac{1}{a^2}）$单调递增，在区间$（\frac{1}{a^2}，+∞）$．单调递减；
即f（x）在$x=\frac{1}{a^2}$处取得最大值，最大值为$f（\frac{1}{a^2}）=\frac{1}{a^2}ln\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2}$；
因此f（x）的最大值大于1-$\frac{2}{a^2}$等价于lna²+a²＜1…（*）；
令t=a²（t＞0），构造函数g（t）=lnt+t，则（*）式等价于g（t）=lnt+t＜1；
因为函数g（t）=lnt+t在（0，+∞）为增函数且g（1）=1，
所以当0＜t＜1时有g（t）＜1，当t＞1时有g（t）＞1；
即lna²+a²＜1…（*）等价于0＜a²＜1即-1＜a＜0或0＜a＜1；
因此当f（x）的最大值大于1-$\frac{2}{a^2}$时，a的取值范围（-1，0）∪（0，1）．

点评 本题考查利用导数研究函数单调性、曲线上某点切线方程，考查函数的最值求解，考查分类讨论思想，考查函数恒成立问题的解决，转化函数最值是解决恒成立问题的常用方法．