Question

1．已知函数f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若θ为锐角，且$f（{θ+\frac{π}{8}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，求tan2θ的值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大值
（2）根据f（x）的解析式$f（{θ+\frac{π}{8}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，求出sin2θ和cos2θ的值，再求tan2θ的值．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=2sinxcosx+cos²x-sin²x（x∈R）．
化简得：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos2x}）$=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}=π$，最大值为$\sqrt{2}$．
（2）由（1）可得：f（x）=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$
∵$f（{θ+\frac{π}{8}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
∴$\sqrt{2}sin（{2θ+\frac{π}{2}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．
∴$cos2θ=\frac{1}{3}$．
∵θ为锐角，即$0＜θ＜\frac{π}{2}$，
∴0＜2θ＜π，
∴$sin2θ=\sqrt{1-{{cos}^2}2θ}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
那么：$tan2θ=\frac{sin2θ}{cos2θ}=2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，同角三角函数关系的计算；利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．