Question

13．设命题p：|2^x-3|＜1；命题q：lg²x-（2t+l）lgx+t（t+l）≤0，
（1）若命题q所表示不等式的解集为A={x|l0≤x≤100}，求实数t的值；
（2）若?p是?q的必要不充分条件，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简命题q，解集为A={x|l0≤x≤100}，即可解出t的值．
（2）?p是?q的必要不充分条件，即q⇒p，是充分不必要，结合不等式求实数t的取值范围．

解答 解：（1）命题q：lg²x-（2t+l）lgx+t（t+l）≤0，
化简得：（lgx-t）[lgx-（t+1）]≤0，
解得：t≤lgx≤t+1．
∵解集为A={x|l0≤x≤100}，
可得：t=1
∴实数t的值为：1．
（2）命题p：|2^x-3|＜1；
化简得：1≤x≤2，
命题q：lg²x-（2t+l）lgx+t（t+l）≤0，
化简得：10^t≤x≤10^t+1，∵?p是?q的必要不充分条件，那么q是p的充分不必要条件．
可得：$\left\{\begin{array}{l}{1{0}^{t}≤1}\\{1{0}^{t+1}≥2}\end{array}\right.$，
解得：lg2-1≤t≤0．
故得实数t的取值范围是[lg2-1，0]．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键