Question

18．在下列函数中，图象关于原点对称且对任意x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0的是（　　）

• A． y=xsinx
• B． y=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$
• C． y=ln$\frac{1-x}{1+x}$
• D． y=x³+x

Answer 1

分析 若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，若对任意x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，则函数在[0，+∞）上为增函数；逐一分析给定四个函数的奇偶性和单调性，可得答案．

解答 解：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，
若对任意x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，则函数在[0，+∞）上为增函数；
A中，函数y=xsinx为偶函数，不满足条件；
B中，函数y=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$为偶函数，不满足条件；
C中，函数y=ln$\frac{1-x}{1+x}$为奇函数，但当x≥1时，解析式无意义，不满足条件；
D中，函数y=x³+x为奇函数，y′=3x²+1＞0恒成立，故函数在[0，+∞）上为增函数，满足条件；
故选：D

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，正确理解题目给定的两个条件的含义，是解答的关键．