Question

20、若有穷数列a₁，a₂…a_n（n是正整数），满足a₁=a_n，a₂=a_n-1…a_n=a₁即a_i=a_n-i+1
（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列{b_n}是项数为7的对称数列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差数列，b₁=2，b₄=11，试写出{b_n}的每一项
（2）已知{c_n}是项数为2k-1（k≥1）的对称数列，且c_k，c_k+1…c_2k-1构成首项为50，公差为-4的等差数列，数列{c_n}的前2k-1项和为S_2k-1，则当k为何值时，S_2k-1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，2²…2^m-1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S₂₀₀₈

Answer 1

分析：（1）设{b_n}的公差为d，由b₁，b₂，b₃，b₄成等差数列求解d从而求得数列{b_n}，
（2）先得到S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，用二次函数求解，
（3）按照1，2，2²…2^m-1是数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可．

解答：解：（1）设{b_n}的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，∴?数列{b_n}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）S_2k-1=c₁+c₂++c_k-1+c_k+c_k+1++c_2k-1=2（c_k+c_k+1++c_2k-1）-c_k，
S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴?当k=13时，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①1，2，2²，，2^m-2，2^m-1，2^m-2，，2²，2，1；
②1，2，2²，，2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，，2²，2，1；
③2^m-1，2^m-2，，2²，2，1，2，2²，，2^m-2，2^m-1；
④2^m-1，2^m-2，，2²，2，1，1，2，2²，，2^m-2，2^m-1．
对于①，当m≥2008时，S₂₀₀₈=1+2+2²++2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1．
当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=1+2++2^m-2+2^m-1+2^m-2++2^2m-2009=2^m-1+2^m-1-2^2m-2009=2^m+2^m-1-2^2m-2009-1．
对于②，当m≥2008时，S₂₀₀₈=2²⁰⁰⁸-1．
当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1．
对于③，当m≥2008时，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=2^m+2^2009-m-3．
对于④，当m≥2008时，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
当1500＜m≤2007时，S₂₀₀₈=2^m+2^2008-m-2．

点评：本题一道新定义题，这样的题做法是严格按照定义要求，将其转化为已知的知识和方法去解决，本题涉及到等差数列的通项公式，等比数列求和，构造数列等知识．