Question

若有穷数列a₁，a₂，…，a_n（n是正整数），满足a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁即a_i=a_n-i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列{b_n}是项数为7的对称数列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差数列，b₁=2，b₄=11，试写出{b_n}的每一项；
（2）已知{c_n}是项数为2k-1（k≥1）的对称数列，且c_k，c_k+1，…，c_2k-1构成首项为50，公差为-4的等差数列，数列{c_n}的前2k-1项和为S_2k-1，则当k为何值时，S_2k-1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，2²，…，2^m-1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S₂₀₀₈。

Answer 1

解：（1）设{b_n}的公差为d，
则，解得d=3，
∴数列{b_n}为；
（2），
，
∴当k=13时，取得最大值，的最大值为626。
（3）所有可能的“对称数列”是：
①；
②；
③；
④，
对于①，当m≥2008时，；
当1500＜m≤2007时，
；
对于②，当m≥2008时，；
当1500＜m≤2007时，；
对于③，当m≥2008时，；
当1500＜m≤2007时，；
对于④，当m≥2008时，；
当1500＜m≤2007时，。