Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点
（1）求AE与D₁F所成的角
（文科）（2）证明：AD⊥D₁F；
（理科）（2）证明：面AED⊥面A₁FD₁．

Answer 1

分析 （1）欲求AE与D₁F所成的角，必须先找出求AE与D₁F所成的角，利用正方体中平行线，即可知道是∠AHA₁是AE与D₁F所成的角即为所求，最后利用证三角形全等即得；
（2）欲证明：AD⊥D₁F，可通过证明线面垂直得到，故先证AD⊥面DC₁，即可；
（3）欲证明：面AED⊥面A₁FD₁．根据面面垂直的判定定理知，只须证明线面垂直：D₁F⊥面AED，即得．

解答 （1）解：取AB中点G，连结A₁G，FG，∵F是CD中点
∴GF平行且等于AD，
∵A₁D₁平行且等于AD，
∴A₁D₁平行且等于GF，
∴GFD₁A₁是平行四边形，
∴A₁G∥D₁F，
设AG₁∩AE=H，则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角
∵E是BB₁的中点∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE
∴∠GA₁A=∠GAH∴∠A₁HA=90°即直线AE与D₁F所成角是直角
（2）证明：AC₁是正方体∴AD⊥面DC₁，又D₁F?面DC₁，∴AD⊥D₁F
（3）证明：∵AD⊥D₁F（（1）中已证）AE⊥D₁F，AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，
又∵D₁F?面A₁FD₁，
∴面AED⊥面A₁FD₁

点评 本题主要考查了异面直线及其所成的角、平面与平面垂直的判定，以及空间想象力、转化思想方法，属于中档题．