Question

15．若圆x²+y²+2x-4y+1=0上的任意一点关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）的对称点仍在圆上，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$最小值为$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得直线2ax-by+2=0过圆心（-1，2），即a+b=1，再根据则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）=3+$\frac{2a}{b}$+$\frac{b}{a}$，利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：∵圆x²+y²+2x-4y+1=0上的任意一点关于直线2ax-by+2=0的对称点仍在圆上，
则直线2ax-by+2=0过圆心（-1，2），即a+b=1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）=3+$\frac{2a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥3+2$\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{2a}{b}$=$\frac{b}{a}$时，取等号，
故答案为$3+2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查圆的一般方程，圆关于直线对称问题，属于中档题．