Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试构造一个数列{b_n}，（写出{b_n}的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有b_n＜a_n，且

lim

n→∞

an

bn

=2，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i-c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令c_n=1-

a

an

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）≤0的解集有且只有一个元素判断△等于0，求得a，则函数解析式可得，进而求得S_n．
（2）构造数列b_n=n-k，任意的正整数n都有b_n＜a_n，则当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，求得k的范围，进而根据b_n≠0，k∉N^*，求得b_n．
（3）把（1）中求得的a_n代入c_n=1-

a

an

中求得C_n，通过C_n+1-C_n＞0判断数列{c_n}递增，进而根据a₄=-

1

3

＜0，1-

4

2n-5

＞0n≥5，可知a₄-a₅＜0，求得n≥3时，有且只有1个变号数；进而根据C₁-C₂＜0，C₂-C₃＜0，判断n≤2时变号数有2个，最后综合答案可得．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a²-4a=0
∴a=0或4，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∝）上递增，故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
a_n=S_n-S_n-1=

1，n=1 2n-5，n≥2

综上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，∴S_n=n²-4n+4
（2）要使

lim

n→∞

an

bn

=2，，可构造数列b_n=n-k，
∵对任意的正整数n都有b_n＜a_n，
∴当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2
∴k＞3，
又b_n≠0，∴k∉N^*，∴b_n=n-

3

2

，．
（3）由题设C_n=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

，
∵n≥3时，C_n+1-C_n=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0，
∴n≥3时，数列{c_n}递增，
∵a₄=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0
n≥5，可知a₄-a₅＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵C₁=-3，C₂=-5，C₃=-3，即C₁-C₂＜0，C₂-C₃＜0，∴此处变号数有2个．
综上得数列共有3个变号数，即变号数为3．

点评：本题主要考查了数列的递推式．递推式是数列中重要的内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式．通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点．