Question

已知关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，求：
（1）当a∈{-2，-1，0，1，2}，b∈{0，1，2，3}时，方程x²+2ax+b²=0有实根的概率；
（2）当a∈[0，2]，b∈[0，3]时，方程x²+2ax+b²=0有实根的概率．

Answer 1

分析：首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a²≥b²．
（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．

解答：解：方程有实根时，△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²．记方程x²+2ax+b²=0有实根的事件为A．
（1）当a∈{-2，-1，0，1，2}，b∈{0，1，2，3}时，a与b的所有组合为（第一个数为a的值，第二个数为b的值）：
（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-2，3），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，3），（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），共20组，即基本事件有20个，由于a在{-2，-1，0，1，2}里取是随机的，b在{0，1，2，3}里取是随机的，所以上述20个事件是等可能性的．
又因为满足条件a²≥b²的有：（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，0），（-1，1），（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2）共11个，即事件A包含了11个基本事件，
所以P（A）=

11

20

，
所以，方程x²+2ax+b²=0有实根的概率为

11

20

．
（2）设点M的坐标为（a，b），由于a∈[0，2]，b∈[0，3]，所以，所有的点M对构成坐标平面上一个区域（如图6中的矩形OABC），即所有的基本事件构成坐标平面上的区域OABC，其面积为2×3=6．
由于a在[0，2]上随机抽取，b在[0，3]上随机抽取，
所以，组成区域ABCD的所有基本事件是等可能性的．
又由于满足条件0≤a≤2，且0≤b≤3，且a²≥b²，即a≥b的平面区域如图6中阴影部分所示，其面积为

1

2

×2×2=2，
所以，事件A组成平面区域的面积为4，所以P（A）=

2

6

=

1

3

．
所以，方程x²+2ax+b²=0有实根的概率为

1

3

．

点评：本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．