Question

设函数f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函数y=f（x）-9x=0的极值点分别为1、4
（1）当a=-2且y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）内无极值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得1，4是y′=0的两根，从而可得a，b，c间的关系，把a=-2代入关系式及过原点可求得a，b，c值；
（2）f（x）在（-∞，+∞）内无极值说明函数f（x）在（-∞，+∞）上单调及a＞0可得f′（x）≥0恒成立，由此可得一不等式，解出即可．

解答：解：f′（x）=ax²+2bx+c，
由题意可得：1，4 是方程ax²+2bx+c-9=0的两根，
所以b=-

5

2

a，c=4a+9．
（1）若a=-2，代入上式得：b=5，c=1，
又f（0）=0，所以d=0，
所以f（x）=-

2

3

x³+5x²+x．
（2）依题意：f（x）在（-∞，+∞）上单调，
所以f′（x）ax²+2bx+c≥0恒成立，
则4b²-4ac≤0，即25a²-4a（4a+9）≤0，
解得0＜a≤4．
所以a的取值范围为（0，4]．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，可导函数f（x）在某点处取得极值，须满足①在该点处导数为0；②在该点左右两侧导数异号．