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    设函数f(x)=
    x-1
    x
    log2(x-1)-log2x    （x＞1）．
    （I）求函数f（x）的最小值；
    （Ⅱ）若m，t∈R+，且
    1
    m
    +
    1
    t
    =1    ，求证：tlo
    g
     
    2
    m+mlo
    g
     
    2
    t≤mt    ；
    （Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    +…+
    1
    a2n
    =1    ，求证：
    lo
    g
     
    2
    a1
    a1
    +
    lo
    g
     
    2
    a2
    a2
    +
    lo
    g
     
    2
    a3
    a3
    +…+
    lo
    g
     
    2
    a2n
    a2n
    ≤n    ．
    分析：（I）求导数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值；
    （Ⅱ）证明tlo
    g
     
    2
    m+mlo
    g
     
    2
    t≤mt    ，只要证明
    log2m
    m
    +
    log2t
    t
    ≤1；
    （Ⅲ）用数学归纳法，关键是证明当n=k+1时不等式也成立，同时使用归纳假设．
    解答：（I）解：求导数可得：f′(x)=
    1
    x2
    log2(x-1)    （x＞1）
    令f′（x）≥0，得x≥2，所以f（x）在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增．
    所以f（x）min=f（2）=-1．
    （Ⅱ）证明：
    log2m
    m
    +
    log2t
    t
    =
    log2m
    m
    -
    log2
    1
    t
    t
    =
    log2m
    m
    -（1-
    1
    m
    ）log2(1-
    1
    m
    )
    =-[
    m-1
    m
    log2(m-1)-log2m    ]
    由（I）知当x＞1时，
    x-1
    x
    log2(x-1)-log2x≥-1    ，
    又m，t∈R+，且
    1
    m
    +
    1
    t
    =1    ，∴m＞1
    ∴
    m-1
    m
    log2(m-1)-log2m    ≥-1
    ∴
    log2m
    m
    +
    log2t
    t
    ≤1
    ∴tlo
    g
     
    2
    m+mlo
    g
     
    2
    t≤mt    ．
    （Ⅲ）证明：用数学归纳法证明如下：
    1°当n=1时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
    2°假设n=k时不等式成立，
    即若a1，a2，a3，…，a2k∈R+，且
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    +…+
    1
    a2k
    =1    时，
    不等式
    lo
    g
     
    2
    a1
    a1
    +
    lo
    g
     
    2
    a2
    a2
    +
    lo
    g
     
    2
    a3
    a3
    +…+
    lo
    g
     
    2
    a2k
    a2k
    ≤k    成立
    现需证当n=k+1时不等式也成立，
    即证：若a1，a2，a3，…，a2k+1∈R+，且
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    +…+
    1
    a2k+1
    =1    时，不等式
    lo
    g
     
    2
    a1
    a1
    +
    lo
    g
     
    2
    a2
    a2
    +
    lo
    g
     
    2
    a3
    a3
    +…+
    lo
    g
     
    2
    a2k+1
    a2k+1
    ≤k+1    成立．
    证明如下：设
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    +…+
    1
    a2k
    =x    ，则
    1
    xa1
    +
    1
    xa2
    +
    1
    xa3
    +…+
    1
    xa2k
    =1
    ∴
    lo
    g
     
    2
    xa1
    xa1
    +
    lo
    g
     
    2
    xa2
    xa2
    +
    lo
    g
     
    2
    xa3
    xa3
    +…+
    lo
    g
     
    2
    xa2k
    xa2k
    ≤k
    ∴
    -lo
    g
     
    2
    xa1
    a1
    +
    -lo
    g
     
    2
    xa2
    a2
    +
    -lo
    g
     
    2
    xa3
    a3
    +…+
    -lo
    g
     
    2
    xa2k
    a2k
    ≥-kx
    ∴
    -lo
    g
     
    2
    a1
    a1
    +
    -lo
    g
     
    2
    a2
    a2
    +
    -lo
    g
     
    2
    a3
    a3
    +…+
    -lo
    g
     
    2
    a2k
    a2k
    ≥-kx    +xlog2x…①
    同理
    -lo
    g
     
    2
    a2k+1
    a2k+1
    +
    -lo
    g
     
    2
    a2k+2
    a2k+2
    +…+
    -lo
    g
     
    2
    a2k+1
    a2k+1
    ≥-k(1-x)    +（1-x）log2（1-x）…②
    由①+②得：
    -lo
    g
     
    2
    a1
    a1
    +
    -lo
    g
     
    2
    a2
    a2
    +
    -lo
    g
     
    2
    a3
    a3
    +…+
    -lo
    g
     
    2
    a2k+1
    a2k+1
    ≥-k    +[xlog2x+（1-x）log2（1-x）]
    又由（Ⅱ）令
    1
    m
    =x    ，则
    1
    t
    =1-x    ，其中∈x（0，1），
    则有
    log2m
    m
    +
    log2t
    t
    ≤1
    ∴xlog2x+（1-x）log2（1-x）≥-1
    ∴-k+[xlog2x+（1-x）log2（1-x）]≥-k-1
    ∴
    lo
    g
     
    2
    a1
    a1
    +
    lo
    g
     
    2
    a2
    a2
    +
    lo
    g
     
    2
    a3
    a3
    +…+
    lo
    g
     
    2
    a2k+1
    a2k+1
    ≤k+1
    ∴当n=k+1时，原不等式也成立．
    综上，由1°和2°可知，原不等式均成立．
    点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用，解题的关键是数学归纳法的第2步，有难度．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=p（x-
    1
    x
    ）-2lnx，g（x）=
    2e
    x
    （p是实数，e为自然对数的底数）
    （1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
    （2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
    （3）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：
    ①函数f(x)=(
    12
    )x    为R上的l高调函数；
    ②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
    ③如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；
    其中正确的命题是
    ②③
    ②③
    （填序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
    ①f(-
    3
    4
    ) ＜f(
    15
    2
    )    ；
    ②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
    ③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
    ④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
    其中真命题的个数为（　　）

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    科目：高中数学 来源：徐州模拟 题型：解答题

    设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
    （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
    		2
    ，求a的值；
    （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
    （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
    		2
    2
    ，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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