Question

经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=

920υ

υ2+3υ+1600

（υ＞0）．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据基本不等式性质可知y=

920υ

υ2+3υ+1600

=

920

3+(v+ 1600 v )

≤

920

83

，进而求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．
（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出v的范围．

解答： 解：（1）依题意，y=

920υ

υ2+3υ+1600

=

920

3+(v+ 1600 v )

≤

920

83

，
当且仅当v=

1600

v

，即v=40时，上式等号成立，
∴y_max=

920

83

（千辆/时）．
∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为

920

83

千辆/时；
（2）由条件得

920υ

υ2+3υ+1600

＞10，
整理得v²-89v+1600＜0，
即（v-25）（v-64）＜0．解得25＜v＜64．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．