Question

在数列{a_n}中，a₁=1，且满足a_n-a_n-1=n（n＞1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}中，a₁=1，且满足a_n-a_n-1=n，代入计算，可得a₂，a₃；利用叠加法，求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项求和，即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}中，a₁=1，且满足a_n-a_n-1=n，
∴a₂=3，a₃=5，
由a_n-a_n-1=n，
可知a₂-a₁=2，
a₃-a₂=3，
…
a_n-a_n-1=n；
当n≥2时，将上面各等式相加，得a_n-a₁=2+…+n=

(n-1)(n+2)

2

∴数列{a_n}的通项公式a_n=

(n-1)(n+2)

2

+1=

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）b_n=

1

an

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴数列{b_n}的前n项和S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．

点评：本题考查了等差数列的基本知识，累和法求通项公式，裂项求和，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．